9.2 Критерий согласия Пирсона ... 9 Статистические гипотезы ... 9.4 О критериях согласия ...

9.3 Критерий согласия для сложных гипотез

На практике задача о согласии данных наблюдений с некоторым совершенно конкретным распределением, рассмотренная в   9.2, встречается реже, чем задача проверки сложной гипотезы, которую мы рассматриваем ниже. Итак, рассмотрим независимую выборку , соответствующую неизвестной функции распределения . Поставим вопрос о том, согласуются ли данные наблюдений со сложной гипотезой

где -- (вообще говоря) многомерный параметр. В эту формальную схему можно включить, например, рассмотрение гипотезы о принадлежности к классу показательных распределений (без уточнения параметра показательного распределения) и т. п.

Группируя данные аналогично  9.2 и вычисляя по функции распределения , обнаруживаем, что теперь эти вероятности являются функциями от неизвестного параметра:

Это обстоятельство делает невозможным непосредственное воспроизведение метода   9.2, так как, если бы мы подставили эти вероятности в (51), то мы бы получили совершенно непригодную с практической точки зрения функцию: ведь для ее вычисления, кроме полученных в эксперименте данных  , требовалось бы также знать сами неизвестные параметры. Чтобы выйти из положения, следует подставить в вместо параметра его оценку , вычисленную по выборке. Это можно сделать разными способами, но мы остановимся на одном из них.

Пусть числа , , вычислены по выборке согласно формуле (50). Запишем следующую функцию правдоподобия

Находя значение , при котором эта функция максимальна, получим оценку наибольшего правдоподобия . Особо отметим, что для ее вычисления достаточно знать только . По аналогии с (51) определим

(53)

Справедлив следующий вариант теоремы Пирсона5: Предположим, что гипотеза верна. Тогда при распределение величины , определяемой по формуле (53), сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы.

Заметим, что по сравнению с теоремой из   9.2 за замену -мерного неизвестного параметра его оценкой нам пришлось ``заплатить'' степенями свободы в предельном распределении хи-квадрат.

В дальнейшем, фиксируя   и выбирая критическое множество

получим искомый критерий уровня значимости   для проверки сложной гипотезы .

Все примечания относительности применимости этого критерия, сделанные в   9.2, разумеется, остаются в силе.

Замечание 9.1  

То обстоятельство, что оценка , которую мы используем в определении (53), зависит от выборки только через значения , является важным для утверждения сформулированной выше теоремы. Как показано в книге [13, § 10.6], замена параметра произвольной его оценкой по выборке приводит к тому, что больше не является удовлетворительной аппроксимацией для .

 

А.Д. Манита, 2001-2011
Официальное казино вулкан - крутой способ заработка в сети. Жмите на http://mediasac.ru!
Хостинг от uCoz