ТеорВер-Онлайн: 9.3 Критерий согласия для сложных гипотез

9.3 Критерий согласия для сложных гипотез

На практике задача о согласии данных наблюдений с некоторым совершенно конкретным распределением, рассмотренная в 9.2, встречается реже, чем задача проверки сложной гипотезы, которую мы рассматриваем ниже. Итак, рассмотрим независимую выборку , соответствующую неизвестной функции распределения . Поставим вопрос о том, согласуются ли данные наблюдений со сложной гипотезой

где

-- (вообще говоря) многомерный параметр. В эту формальную схему можно включить, например, рассмотрение гипотезы о принадлежности к классу показательных распределений (без уточнения параметра показательного распределения) и т. п.

Группируя данные аналогично 9.2 и вычисляя по функции распределения , обнаруживаем, что теперь эти вероятности являются функциями от неизвестного параметра:

Это обстоятельство делает невозможным непосредственное воспроизведение метода

9.2, так как, если бы мы подставили эти вероятности в (51), то мы бы получили совершенно непригодную с практической точки зрения функцию: ведь для ее вычисления, кроме полученных в эксперименте данных

, требовалось бы также знать сами неизвестные параметры. Чтобы выйти из положения, следует подставить в

вместо параметра

его оценку

, вычисленную по выборке. Это можно сделать разными способами, но мы остановимся на одном из них.

Пусть числа , , вычислены по выборке согласно формуле (50). Запишем следующую функцию правдоподобия

Находя значение

, при котором эта функция максимальна, получим оценку наибольшего правдоподобия

. Особо отметим, что для ее вычисления достаточно знать только

. По аналогии с (51) определим

(53)

Справедлив следующий вариант теоремы Пирсона⁵: Предположим, что гипотеза верна. Тогда при распределение величины , определяемой по формуле (53), сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы.

Заметим, что по сравнению с теоремой из 9.2 за замену -мерного неизвестного параметра его оценкой нам пришлось ``заплатить'' степенями свободы в предельном распределении хи-квадрат.

В дальнейшем, фиксируя и выбирая критическое множество

получим искомый критерий уровня значимости

для проверки сложной гипотезы

Все примечания относительности применимости этого критерия, сделанные в 9.2, разумеется, остаются в силе.

Замечание 9.1

То обстоятельство, что оценка , которую мы используем в определении (53), зависит от выборки только через значения , является важным для утверждения сформулированной выше теоремы. Как показано в книге [13, § 10.6], замена параметра произвольной его оценкой по выборке приводит к тому, что больше не является удовлетворительной аппроксимацией для .

А.Д. Манита, 2001-2011