9.4 О критериях согласия Колмогорова и Смирнова

Часто при проверке гипотез о распределении тех или иных данных недостаточно применить какой-то один критерий, в особенности, когда данные наблюдений не показывают значимого отклонения от гипотезы, и ситуация представляется сомнительной. В этих случаях целесообразно воспользоваться другими критериями, основанными на других вероятностных идеях, чтобы при их помощи подвергнуть анализу те же данные. Таким образом, очень важно иметь широкий арсенал методов для статистической обработки данных.

В настоящем параграфе мы кратко опишем два других эффективных подхода, приводящих к хорошим критериям согласия. Критерий Пирсона, изложенный в   9.2 и   9.3, может применяться в самой общей ситуации, являясь весьма универсальным. Его применение особенно оправдано в случае выборок из дискретных распределений. Однако для ряда статистических моделей выводы этого критерия могут быть недостаточно эффективными.

Критерии Колмогорова и Смирнова, о которых идет речь ниже, очень широко применяются в случае непрерывных функций распределения.

Мы ограничимся лишь рассмотрением случая простой гипотезы

Для критериев Колмогорова и Смирнова выбор меры расхождения связан с эмпирической функцией распределения  (см. Определение 6.1). А именно, рассматривается статистика Колмогорова

Коснемся вопроса об асимптотическом распределении этих функций. По теореме Гливенко (см. (28)) при выполнении гипотезы  статистика  стремится к нулю при . Оказывается, что если ее домножить на , то в пределе получится нетривиальное распределение. Более точно, верна теорема Колмогорова: Если гипотеза  верна и непрерывна, то

1. распределение статистики является одним и тем же для любой функции распределения и
2. у последовательности существует предельное распределение при .

Аналогичное по характеру утверждение имеет место и для статистики Смирнова, а именно, при верной гипотезе  и непрерывной 

1. распределение зависит только от и не зависит от ,
2. у последовательности существует предельное распределение при .

    и