5.3 Одномерное случайное блуждание

Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с распределением

Введем последовательность случайных величин

Последовательность назовем случайным блужданием на множестве , выходящим из точки . Параметр интерпретируется как дискретное время, случайная величина -- как положение (координата) блуждающей частицы в момент времени .

Наша цель -- дать качественное описание при больших . Рассмотрим на вещественной прямой интервалы вида , где .

Предложение 5.1   Если , то

Доказательство. Это утверждение следует из закона больших чисел. Предположим, что . Достаточно выбрать таким, что , и применить ЗБЧ.

Следовательно, при больших распределение случайной величины , главным образом, сосредоточено в внутри сколь угодно ``узкого'' конуса

Можно показать, что при любых фиксированных , и найдется такое , что при

Предложение 5.2   При

Доказательство. Вытекает из центральной предельной теоремы.