1.1 Конечное вероятностное пространство

В истоках любых математических построений лежат понятия множества и отображения (функции). Мы начнем с изложения формальной схемы, постепенно устанавливая на примерах необходимые параллели со случайными явлениями реального мира.

Рассмотрим произвольное конечное множество , которое впредь будем называть множеством элементарных исходов, а его элементы -- элементарными исходами.

Пусть задана функция . То есть, каждому элементарному исходу поставлено в соответствие число из отрезка .

Будем предполагать, что

(1)

В дальнейшем, через мы обозначаем число элементов в множестве .

Пример 1.1   Производится бросание двух игральных костей. Элементарным исходом служит упорядоченная пара чисел , где -- число очков на первой кости, -- число очков на второй кости. Множество элементарных исходов можно задать перечислением:

Очевидно, что . Вероятность можно задать следующим образом:

Такой выбор функции  естественен, если предположить, что кости изготовлены из однородного материала и имеют правильную форму. Это пример вероятностного пространства с равновероятными элементарными исходами.

Пример 1.2   Схема испытаний Бернулли. В качестве пространства элементарных исходов возьмем множество

(2)

Число элементов в этом множестве: . Зададим теперь вероятность на . Зафиксируем некоторое . Положим

(3)

Заметим, что при , элементарные исходы в последовательности испытаний Бернулли не являются равновероятными.

Схема испытаний Бернулли является важной в теоретическом и прикладном плане вероятностной моделью. Эта модель интерпретируется следующим образом: последовательно проводится серия из однородных отдельных испытаний, каждое из которых может завершиться лишь одним из двух вариантов  и . Таким образом, элементарный исход  представляет собой ``протокол'' проведенной серии из  испытаний. Согласно установившейся традиции, если , то говорят, что -е испытание завершилось ``успехом''; если , то говорят, что -е испытание завершилось ``неуспехом''.

Схема Бернулли широко применяется в различных задачах, и мы неоднократно будем к ней возвращаться в дальнейшем.

Упражнение 1.1   Для вероятностей, определенных формулой (3), проверить выполнение условия: .