ТеорВер-Онлайн: 7.3 Регрессионная модель и задача о сглаживании наблюдений

7.3 Регрессионная модель и задача о сглаживании наблюдений

В настоящем параграфе под данными мы будем понимать набор из пар чисел:

(40)

причем пара

представляет собой исход единичного наблюдения. Роль чисел

в паре является различной и состоит в следующем. Предполагается, что экспериментатор может абсолютно точно задавать во время опыта значения

и затем измерять, допуская при этом случайную ошибку, значение

. Например,

-- температура, выбираемая в процессе эксперимента над образцом материала,

-- длина образца при соответствующей температуре. Число

принято называть фактором, а число

-- откликом. Экспериментатор предполагает, что между величинами

существует функциональная зависимость вида

где

известные функции, а

-- неизвестные параметры. Предполагая, что ошибки, связанные с измерением отклика, независимы и имеют распределение

, получим следующую модель

Она называется регрессионной моделью. Задача состоит в том, чтобы оценить неизвестные величины

по данным наблюдений (40).

Для решения этой задачи эффективным оказывается подход, применяемый в предыдущих параграфах: хорошей оценкой неизвестных параметров является та, которая ``минимизирует сумму квадратов'':

Много дополнительных сведений о свойствах оценок наименьших квадратов в модели регрессионного анализа, о проверке предпосылок к применению этой модели, а также о проверке ее адекватности, можно почерпнуть из книги [13].

Иногда в качестве берут степенные функции:

Таким образом, речь идет о том, чтобы приблизить неизвестную функциональную зависимость

от

полиномом вида

. В этом случае говорят о задаче сглаживания наблюдений

при помощи полинома. Более подробно об этой важной задаче, в том числе о проблеме выбора степени полинома, можно прочитать в книге [12].

А.Д. Манита, 2001-2011