4.4 О некоррелированных зависимых случайных величинах

Здесь мы рассмотрим пример, показывающий, что некоррелированность и независимость не являются эквивалентными понятиями. Логически этот параграф продолжает обсуждение, начатое в   2.9.

Рассмотрим случайную величину , равномерно распределенную в , и случайные величины и . Покажем, что , но случайные величины и зависимы.

Рассмотрим теперь интервалы и и покажем, что

Особо подчеркнем, что мы показали статистическую зависимость случайных величин и , ту зависимость, которая интересна с точки зрения теории вероятностей и опирается на Определение 4.3.

Замечание 4.2  

Выше мы предъявили пример двух случайных величин, которые, очевидным образом, являются функционально зависимыми:

но коэффициент корреляции которых равен нулю: . Это резко контрастирует со случаем линейной зависимости между случайными величинами, которая имеет место тогда и только тогда, когда (см.   2.9). Таким образом, можно сказать, что коэффициент корреляции отражает степень линейной зависимости между случайными величинами.