9.1 Простые и сложные гипотезы и их проверка

Пусть -- независимая выборка, соответствующая неизвестной функции распределения . Простой гипотезой называют предположение, состоящее в том, что неизвестная функция  отвечает некоторому совершенно конкретному вероятностному распределению. Пример простой гипотезы:

            : данные являются выборкой из равномерного распределения
                    в отрезке .

Сложной гипотезой называют предположение о том, что неизвестная функция  принадлежит некоторому множеству распределений, состоящему из более чем одного элемента. В качестве иллюстрации можно привести Пример 6.3.

Проверить статистическую гипотезу  -- это значит на основе имеющихся данных принять или отвергнуть сделанное предположение. Для этого используется подход, основанный на выборе так называемого критического множества . Мы поступаем следующим образом: если данные наблюдений попадают в критическое множество (то есть, ), то гипотеза  отвергается; если же данные находятся вне критического множества (то есть, ), то гипотеза  принимается. Такое решающее правило будем называть критерием, основанным на критическом множестве .

Существует много методов построения критических множеств для проверки статистических гипотез, некоторые из этих методов обсуждаются в последующих параграфах. Сейчас мы кратко коснемся вопроса о возможных ошибках, которые мы допускаем, принимая или отвергая гипотезы.

В силу случайной природы наблюдаемых данных возможна ситуация в то время, когда гипотеза справедлива. Однако, согласно решающему правилу, в этом случае мы отвергнем верную гипотезу  и, тем самым, допустим ошибку. Очевидно, что в случае простой гипотезы вероятность такой ошибки равна . Эту вероятность называют также уровнем значимости статистического критерия. Такого рода ошибки неизбежны при анализе случайных данных, и их не следует драматизировать. На практике уровень значимости критерия задается изначально, исходя из реальных приложений и потенциальных последствий возможных ошибок.