9.2 Критерий согласия Пирсона

Наше изложение близко к [7, § 30.1] и [13, § 10.4]. Мы рассматриваем независимую выборку , обозначая неизвестную функцию распределения . Нас интересует вопрос о том, согласуются ли данные наблюдений с простой гипотезой

Вначале разобъем множество на конечное число непересекающихся подмножеств . Пусть -- вероятность, соответствующая функции распределения , обозначим Очевидно, что

Теперь сделаем группировку данных аналогично процедуре, описанной в   6.3, а именно, определим

(50)

(51)

Поведение , когда гипотеза верна.

Речь идет о поведении при увеличении объема выборки: .

Предположим, что гипотеза верна. Тогда при распределение величины сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы, то есть,

Практический смысл этой теоремы в том, что при большом объеме выборки распределение  можно считать распределением хи-квадрат с степенью свободы.

Поведение , когда гипотеза неверна.

Предположим теперь, что и разбиение таково, что

если

(52)

Критерий проверки.

То обстоятельство, что поведение существенно различно в зависимости от того верна или нет гипотеза , дает возможность построить критерий для ее проверки. Зададимся некоторым уровнем значимости (допустимой вероятностью ошибки) и возьмем квантиль , определенную формулой (45):

• если , то гипотеза  отвергается (при этом говорят, что выборка обнаруживает значимое отклонение от гипотезы ),
• если , то гипотеза  принимается (говорят, что выборка совместима с гипотезой ).

При таком решающем правиле мы может допустить ошибку, отвергнув верную гипотезу . Из теоремы Пирсона вытекает, что при больших величина вероятности этой ошибки близка к  .

Границы применимости критерия на практике.

Утверждения теоремы Пирсона и (52) относятся к пределам при . На практике, конечно, мы имеем дело лишь с выборками ограниченного объема. Поэтому, применяя вышеописанный критерий, необходимо проявлять осторожность. Согласно рекомендациям, изложенным в [7], применение критерия дает хорошие результаты, когда все ожидаемые частоты . Если же какие-то из этих чисел малы, рекомендуется, укрупняя некоторые группы, перегруппировать данные таким образом, чтобы ожидаемые частоты всех групп были не меньше десяти. Если число достаточно велико, то, как указывается в книге [13], порог для ожидаемых частот может быть понижен до  или даже до , если имеет порядок нескольких десятков.