6.4 Выборочное среднее и выборочная дисперсия

Иногда исследователь ставит перед собой более конкретную проблему: как, основываясь на выборке, оценить интересующие его числовые характеристики неизвестного распределения, не прибегая к приближению этого распределения как такового, то есть без построения выборочных функций распределения, гистограмм и т.п.

В данном параграфе мы обсудим простые (но, как увидим в дальнейшем, весьма хорошие) выборочные аппроксимации для математического ожидания и дисперсии. Замечательно то, что они применимы в очень общей ситуации. Мы будем предполагать, что независимая выборка взята из неизвестного распределения, у которого существует математическое ожидание и дисперсия (обозначим эти неизвестные значения через и соответственно).

Определение 6.2  

Величины, вычисляемые по выборке,

(29)

и

(30)

называются выборочным средним и выборочной дисперсией.

Следует особо подчеркнуть, что определенные выше величины зависят только от выборки. Следующее предложение объясняет, почему естественно считать выборочным аналогом математического ожидания, а -- выборочным аналогом дисперсии.

Предложение 6.1  

Математические ожидания и совпадают с оцениваемыми неизвестными величинами:

(31)

Дисперсия стремится к нулю при росте объема выборки.

Доказательство.

Используя линейность математического ожидания, получим

Так как выборка независимая, то . Следовательно, при .

Покажем теперь, что . Первое замечание состоит в том, что не зависит от сдвига всех элементов выборки на одну и ту же константу, то есть, значения выражения (30) для выборок и одинаковы. Поэтому без ограничения общности мы будем считать, что . При этом предположении

			(32)

Это утверждение свидетельствует о том, что и являются ``качественными приближениями'' для неизвестных величин и . Свойство (31) называется несмещенностью. Тот факт, что дисперсия исчезает с увеличением объема выборки дает основание для вывода о том, что, чем больше данных измерений мы возьмем для статистической обработки, тем точнее будут наши выводы.

Замечание 6.4  

Для оценивания дисперсии по выборке может быть использована также функция

Формально ее можно получить, заменив в определении дисперсии оператор математического ожидания средним арифметическим. Ясно, что величина в отличие от является смещенной: . Хотя для больших выборок эта смещенность не очень существенна.

Предложение 6.2  

При росте объема выборки

Доказательство.

Как и при доказательстве Предложения 6.1 без ограничения общности будем считать, что . При этом предположении . Из (32) вытекает, что

(33)

Замечание 6.5  

Здесь мы воспроизводим замечание о вычислениях, приведенное в [12, с. 116]. Из соотношения (33) вытекает следующее представление для :

(34)

Математически формулы (30) и (34) дают одно и то же значение. Но, если нам необходимо вручную вычислить выборочную дисперсию, то следует это делать только по формуле (30), так как вычисления по формуле (34) потребовали бы учета намного большего числа значащих цифр, чем в случае применения формулы (30).

Имеется большое число практически важных приемов, призванных облегчить вычислительную работу с конкретными числовыми выборками. Для знакомства с ними рекомендуем читателю обратиться к книге [11].

В настоящее время существует много прикладных компьютерных программ, которые можно и нужно использовать для обработки числовых данных. С некоторыми наиболее популярными специализированными статистическими пакетами (Stadia, StatGraphics) можно познакомиться по книге [13], к которой также приводится их сравнение. Для статистической обработки небольших массивов данных вполне подойдет любой хороший универсальный математический пакет (Mathematica, Maple, Matlab).

Пример 6.5  

Вычислим выборочное среднее и выборочную дисперсию для числовых данных Примера 6.4 на странице . Подставив данные в формулы (29) и (30), найдем для выборки

и для выборки

Полезной величиной является также корень из выборочной дисперсии как оценка среднеквадратичного уклонения: