8.1 Понятие доверительного интервала ... 8 Доверительные интервалы ... 8.3 Теорема Фишера для ...

8.2 Вероятностные распределения, связанные с нормальным

Подпункты этого параграфа:

Здесь мы кратко обсудим распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента, играющие исключительную роль в статистике. Наше изложение близко содержанию  2.6 книги [13].

Хи-квадрат распределение

Пусть -- независимые стандартные нормальные случайные величины (). -распределением с степенями свободы называется распределение следующей случайной величины:

(44)

Это распределение сосредоточенно на положительной полуоси и имеет плотность

где -- гамма-функция.

Упражнение 8.2  

Начертить графики плотности при и .

Упражнение 8.3  

Найти и .

Квантили распределения будем обозначать , . По определению они являются решениями уравнения

(45)

где -- функция хи-квадрат распределения с степенями свободы. На этом чертеже изображены плотность и ее квантиль.

Для значений функции распределения имеются таблицы, из которых находят квантили. Кроме этого, хи-квадрат распределение интегрировано в большое число прикладных компьютерных программ [13]. На странице [*] настоящей брошюры также приведена небольшая таблица квантилей хи-квадрат распределения.

Распределение Стьюдента

Это распределение получило свое название от псевдонима Student, которым английский ученый Госсет подписывал свои работы по статистике.

Пусть -- независимые стандартные нормальные случайные величины. Распределением Стьюдента с степенями свободы называется распределение следующей случайной величины:

(46)

Если вспомнить введенную формулой (44) случайную величину  , то можно сказать, что отношение имеет распределение Стьюдента. Плотность этого распределения представляет собой симметричную функцию, задаваемую формулой

По форме график функции напоминает график плотности стандартного нормального закона, но с более медленным убыванием ``хвостов''. При последовательность функций сходится к функции , которая есть плотность распределения  . Чтобы понять, почему этот факт имеет место, следует обратить внимание на то, что по закону больших чисел знаменатель выражения (46) при стремится к  .

На чертеже представлены плотность распределения Стьюдента  и плотность стандартного нормального закона.

В дальнейшем нам понадобятся квантили распределения , которые мы будем обозначать  , ,

Небольшую таблицу квантилей распределения Стьюдента можно найти на странице [*].


След.: 8.3 Теорема Фишера для ...
Пред.: 8.1 Понятие доверительного интервала ...
Вверх: 8 Доверительные интервалы ...
  Оглавление
  Предметный указатель
 

А.Д. Манита, 2001-2011
essay-writing-service.org
Хостинг от uCoz