6.1 Понятие о выборке ... 6 Обзор методов математической ... 6.3 Гистограмма ...

6.2 Эмпирическая функция распределения

В главе 3 шла речь о том, что все важнейшие характеристики случайной величины могут быть выражены в терминах ее функции распределения. В задачах математической статистики функция распределения (теоретическая) всегда является неизвестной. Замечательно то, что основываясь на выборке, можно построить хорошее приближение для неизвестной функции распределения .

Пусть, как и прежде, -- независимая выборка из неизвестного распределения .

Определение 6.1  

Эмпирической функцией распределения называется функция , вычисляемая по выборке следующим образом:

то есть, есть отношение числа элементов выборки, не превосходящих , к объему выборки.

Замечание 6.1  

Слово ``эмпирическая'' в Определении 6.1 означает, что функция вычисляется по данным опыта (эмпирическим данным), то есть, по выборке. По этой же причине для этого понятия иногда употребляют термин выборочная функция распределения.

Замечание 6.2  

Легко видеть, что есть кусочно постоянная неубывающая непрерывная справа функция. Если все различны, то в каждой точке функция имеет скачок величины . Если какие-либо из совпадают, то соответствующие скачки суммируются.

Замечание 6.3  

Как следует из Определения 6.1, значение функции в точке  зависит от выборки , так что более полное обозначение для могло быть следующим: . В этом обозначении переменная является основной, а -- фиксированные параметры. С другой стороны, интерпретируются как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения . Таким образом, есть случайная величина.

Оказывается, что в пределе выборочная функция распределения равномерно сходится к теоретической:

(28)

Этот факт имеет совершенно общий характер и называется теоремой Гливенко. Ее доказательство выходит за рамки данного курса. Желающие могут найти его в книге [4].

Упражнение 6.1  

Доказать следующий ослабленный вариант утверждения (28): для любых фиксированных и

Указание: заметить, что , и применить к последовательности независимых бернуллиевских случайных величин

закон больших чисел (  2.12).

 

А.Д. Манита, 2001-2011
Подробное описание часы Swiss Military by chrono тут. . casio киев оптом.
Хостинг от uCoz