2.8 Независимость случайных величин

Определим понятие независимости для дискретных случайных величин.

Определение 2.6   Случайные величины называются независимыми, если для всех

Другими словами, набор есть набор независимых событий.

Упражнение 2.8   Показать, что события независимы тогда и только тогда, когда случайные величины взаимно независимы.

Предложение 2.4   Предположим, что

1. независимые случайные величины,
2. существуют математические ожидания .

Тогда

Доказательство. Для простоты рассмотрим лишь случай . Обозначим , . Пусть и имеют следующие распределения:

Обозначим

(9)

(10)

Так как , если , то мы можем воспользоваться доказанной выше Леммой 2.2:

Предложение доказано.

Следствие 2.1   Если и независимы, то

Доказательство.

Действительно, по предложению в силу независимости и . С другой стороны, (см. Упражнение 2.7). Отсюда утверждение следствия легко следует.