Определим понятие независимости для дискретных случайных
величин.
Определение 2.6
Случайные величины
![](images/img269.gif) называются
независимыми , если для всех
Другими словами,
![](images/img272.gif) набор
![](images/img273.gif)
есть набор независимых событий.
Упражнение 2.8
Показать, что события
![](images/img92.gif) независимы
тогда и только тогда, когда случайные величины
![](images/img274.gif)
взаимно независимы.
Предложение 2.4
Предположим, что
-
независимые случайные величины,
- существуют математические ожидания
.
Тогда
Доказательство.
Для простоты рассмотрим лишь случай .
Обозначим
,
. Пусть и
имеют следующие распределения:
Обозначим
Имеют место представления
![](images/img289.gif) |
(9) |
Заметим, что
. Следовательно,
![](images/img291.gif) |
(10) |
Аналогично Замечанию 2.7, при любом фиксированном
в бесконечных суммах (9) содержится не более одного ненулевого
слагаемого, так что с произведением рядов в (10) нет никаких
проблем.
Так как
, если
,
то мы можем воспользоваться доказанной выше Леммой 2.2:
Так как и независимы, то
Следовательно,
Предложение доказано. ![](images/img297.gif)
Доказательство.
Действительно, по предложению
в силу
независимости и . С другой стороны,
(см. Упражнение 2.7). Отсюда утверждение следствия легко следует.
| ![](emp20x20.gif) |