2.7 Индикаторы событий

Здесь мы рассмотрим простейшие случайные величины, тесно связанные с событиями. Они очень удобны при изучении произвольных случайных величин.

Определение 2.5   Индикатором события  называется случайная величина  :

Другими словами, , если происходит событие , и , если событие не происходит. Таким образом, является бернуллиевской случайной величиной (см. Пример 2.1).

Замечание 2.6  

См. также Пример 2.4 и Упражнение 2.3.

Предложение 2.3 (Без доказательства.)   Пусть дана последовательность случайных величин такая, что все математические ожидания существуют и

Тогда 

a)

абсолютно сходится ,

б)

существует математическое ожидание ,

в)

Лемма 2.2   Пусть -- последовательность несовместных событий: . Рассмотрим случайную величину вида

(8)

Предположим, что Тогда

Доказательство. Данное утверждение есть следствие сформулированного выше Предложения. Действительно, обозначим . Заметим, что . Легко проверить, что условия Предложения 2.3 выполнены. Следовательно,