ТеорВер-Онлайн: 8.4 Доверительное оценивание параметров нормальных выборок

8.4 Доверительное оценивание параметров нормальных выборок

Подпункты этого параграфа:

Всюду в этом параграфе мы рассматриваем независимые выборки из нормального распределения . Мы построим доверительные интервалы для параметров распределения при различных предположениях относительно статистической модели.

Доверительный интервал для среднего при известной дисперсии

Предположим, что параметр неизвестен, а дисперсия -- известное фиксированное число. Пусть -- доверительная вероятность. Применим метод, изложенный в 8.1. Выберем функцию

Из Упражнения 4.7 вытекает, что

имеет нормальное распределение. Нетрудно видеть, что это стандартное нормальное распределение

. Следовательно,

. Выбирая

, заключаем, что неравенство

выполнено с вероятностью

. Решая его, находим доверительный интервал:

Если теперь заметить, что

, то

-доверительный интервал можно записать еще проще:

Замечательно то, что выборочное среднее является серединой этого интервала, а его длина стремится к нулю с увеличением объема выборки.

Доверительный интервал для дисперсии при известном среднем

Здесь среднее считается известным фиксированным числом, а дисперсия выступает в роли неизвестного параметра. Положим

Так как

, то

имеет стандартное нормальное распределение. Тем самым, функция

имеет

-распределение с

степенями свободы, никаким образом не зависящее от неизвестного параметра

. Обозначая через

квантили этого распределения и фиксируя некоторые

, такие, что

, приходим к неравенству

(47)

которое выполнено с вероятностью

. Откуда получаем

-доверительный интервал для

Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном среднем

Теперь оба параметра и будем считать неизвестными. Нас интересует доверительный интервал для . В этом смысле параметр является мешающим. Выберем

Заметим, что функция

определена таким образом, что при заданной выборке ее значения зависят лишь от параметра

. Что касается распределения случайной величины

, то по теореме Фишера (см.

8.3) оно является

-распределением с

степенями свободы и, следовательно, не зависит от неизвестных параметров. Фиксируя

, такие, что

, и рассуждая как в (47), приходим к следующему

-доверительному интервалу для

который, используя обозначение (30), можно переписать так

Доверительный интервал для среднего при неизвестной дисперсии

Как и в предыдущем пункте, оба параметра и считаются неизвестными, при этом является мешающим параметром. По теореме Фишера

независимы и имеют распределения

-распределение с

степенью свободы соответственно. Следовательно, отношение

(48)

имеет распределение Стьюдента с

степенью свободы. Выберем функцию

равной правой части (48):

где

-- выборочная дисперсия, определенная формулой (30). Функция

не зависит явно от мешающего параметра

. Обозначая через

квантиль распределения Стьюдента с

степенью свободы, получим, что неравенство

выполнено с вероятностью

. Отсюда получаем

-доверительный интервал для

Так как распределение Стьюдента симметрично, то по Предложению 3.3

Поэтому доверительный интервал можно записать в виде

(49)

Таким образом, выборочное среднее

является серединой этого интервала.

Пример 8.2

Обратимся к Примеру 6.4. Предположим, что каждая из выборок и взята из нормального распределения с неизвестными параметрами -- и соответственно. (О том, на основании чего можно сделать такое допущение, мы поговорим позже в 9.5.)

Наша цель -- найти доверительные интервалы для и , теоретических значений содержания углерода и прочности на разрыв стали GS50. Напомним, что объем каждой из выборок . Зафиксируем доверительную вероятность, близкую к единице, скажем . По таблице распределения Стьюдента на стр. определим приближенно, что . Вспоминая значения и , найденные в Примере 6.5 на стр. , вычисляем